Funciones

Función matemática


Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.
En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada
que cumple con las siguientes dos condiciones:
Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir,
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Conceptos básicos
Para toda función podemos definir:

Dominio
El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por:


Recorrido o codominio
El recorrido o conjunto de llegada de es el conjunto y se denota o bien

Rango
El rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los objetos transformados, se denota o bien y está definida por:


Preimagen
Una preimagen de un es algún tal que
Note que , y que algunos elementos del recorrido pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. En efecto, puede darse que tal que

Ejemplos
La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales

Función con Dominio X y Codominio Y
Para la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
En la figura se puede apreciar una función , con


Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda:

Representación de funciones
Las funciones se pueden representar de distintas maneras:
Como expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x), que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.
Ejemplo: y=x+2.
Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.
Ejemplo: X -2 -1 0 1 2 3
Y 0 1 2 3 4 5
Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}
Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".
Como gráfica: gráfica que permite visualizar tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Funciones según tipo de aplicación
Dados dos conjuntos X e Y, podemos clasificar a todas las funciones definidas entre ellos, en:

Función inyectiva
Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,
o lo que es lo mismo,


Función sobreyectiva
Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas.

Función biyectiva
Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,


Ejemplos
Sobreyectiva, no inyectiva
Inyectiva, no sobreyectiva
Biyectiva
No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones

Composición de funciones
Artículo principal: Función compuesta
Dadas dos funciones f: A → B y g: B → C, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): A → C como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.



Función identidad
Artículo principal: Función identidad
Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de se denomina función identidad o función unitaria.

Dada cualquier función , es claro que es igual a y que es también igual a , puesto que para todo y también


Función inversa
Artículo principal: función inversa
Dada una función , se denomina función inversa de , a la función que cumple la siguiente condición:


Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.
Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de es que sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones
Existe función inversa de y
es biyectiva
son lógicamente equivalentes.

El grupo de las funciones biyectivas
Considerando todas las funciones biyectivas , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:
Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa:
tal que tenemos

Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de .

Funciones en Rn según su número de variables
Siempre es posible restringir tanto el dominio como la imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, es completamente válido restringir al dominio de los números naturales, para que el conjunto imagen tome así los valores comprendidos en el intervalo [0,+∞).
Además, el dominio y la imagen pueden tener cualquier número de variables. Dicho número permite clasificar a las funciones como sigue:
Función escalar: Función del tipo
Campo escalar: Función del tipo
Función vectorial: Función del tipo
Campo vectorial: Función del tipo

Funciones reales de variable real
Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas o entre conjuntos de números ().

Funciones reales y funciones discretas
Artículo principal: Función real
Artículo principal: Función discreta
Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas
Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=x tiene por conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares
Artículo principal: Función par
Artículo principal: Función impar
Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si
\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/f/d/6fd6144ae8fc0632ecbbb3b3dbcc9ec9.png">
Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si
Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Funciones monótonas
Artículo principal: Función monótona
La función f es estrictamente creciente en
f es estrictamente decreciente en f(x_2)" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/9/849a82a7a504c0a8212339b59a9ed44f.png">
Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.
f es creciente en
f es decreciente en
Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.

Funciones periódicas
Artículo principal: función periódica
Una función es periódica si se cumple: donde es el período.
En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas
Artículo principal: Función convexa
Artículo principal: Función cóncava

Función convexa.
Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.
La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones concava hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.
Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Véase también
Funciones matemáticas
Continuidad (matemática)
Asíntotas de una función

Enlaces externos
Commons
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre funciones.
FooPlot - Graficador de funciones matemáticas
En la Enciclopedia en-línea de la Springer-Verlag: [1]
The function concept - Sobre la historia del concepto de función
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"
Categorías: Funciones Matemática elemental
Categorías ocultas: Wikipedia:Páginas semiprotegidas Wikipedia:Artículos destacados en w:lmo